Mi a szám hatalma?

• Okok

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ez a szakasz csak egy természetes jelzővel és nulla értékkel foglalkozik.

A racionális exponensekkel (negatív és frakcionált) végzett diplomák fogalmát és tulajdonságait a 8. évfolyam tanulságaiban tárgyaljuk.

Tehát megértjük, mi a hatalom a szám. Ahhoz, hogy magát a számot önmagában többször rögzítse, használja a rövidített jelölést.

Hat azonos 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 tényezőből álló termék helyett 4 6-at írnak, és azt mondják: „négy-hatodik fok”.

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

A 4 6 kifejezést a szám hatalmának nevezzük, ahol:

• 4 - a fokozat alapja;
• 6 - exponens.

Általában véve az „a” bázis és az „n” indexet a következő kifejezéssel írjuk:

Az „a” szám, az „n” természetes indexnél nagyobb, mint 1, az „n” egyenlő tényezők eredménye, amelyek mindegyike egyenlő az „a” számmal.

Az „a n” jelölés így olvasható: „de az n erejére vagy az„ a n.

A kivételek rekordok:

• a 2 - "négyszögletes";
• a 3 - „kocka” -ként mondható ki.

Természetesen a fenti kifejezések olvashatók a fok meghatározásához:

• a 2 - „és a második fokozatban”;
• a 3 - "és a harmadik fokozatban."

Különleges esetek fordulnak elő, ha az exponens egy vagy nulla (n = 1; n = 0).

Az "a" szám az n = 1 indexgel maga a szám:
a 1 = a

A nulla fokozatú számok egyike.
a 0 = 1

A természetes értékek nulla értéke nulla.
0 n = 0

A mértékegység bármely mértékig 1.
1 n = 1

A 0 0 kifejezés (nulla és nulla) értelmetlen.

A példák megoldása során emlékeznünk kell arra, hogy a hatalomra való emelés számszerű vagy ábécéértékű érték megnevezése a hatalomra való emelés után.

Példa erre. Emelje meg a fokozatot.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Negatív szám növelése

A fokozat alapja (egy hatalomra emelt szám) bármely szám lehet - pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív számot kapunk, pozitív számot kapunk.

Nulla természetes fokozat kialakításakor nullát kapunk.

Ha negatív számot ad a teljesítményre, az eredmény lehet pozitív szám vagy negatív szám. Ez attól függ, hogy az exponens páratlan vagy páratlan.

Tekintsünk példákat a negatív számok erejére való emelésre.

A vizsgált példákból egyértelmű, hogy ha egy negatív számot páratlan fokra emelünk, akkor negatív számot kapunk. Mivel a páratlan számú negatív tényező terméke negatív.

Ha egy negatív szám egyenletes teljesítményre emelkedik, akkor pozitív számot kapunk. Mivel a páros számú negatív tényező terméke pozitív.

A negatív szám egy egyenletes teljesítményre pozitív szám.

A páratlan teljesítményre emelt negatív szám negatív szám.

Bármely szám négyzetének pozitív száma vagy nulla, azaz:

a 2 ≥ 0 bármelyik a esetében.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Figyeljen!

Az exponenciálási példák megoldása során gyakran hibáznak, elfelejtve, hogy a (−5) 4 és −5 4 bejegyzések különböző kifejezések. Ezeknek a kifejezéseknek az exponenciálódásának eredménye eltérő lesz.

A (−5) 4 kiszámításához a negatív szám negyedik erejének értékét kell megtalálni.

Míg a „−5 4” megállapítás azt jelenti, hogy a példát két lépésben kell megoldani:

1. Emelje fel a negyedik hatalomra pozitív számot 5.
   5 = 5,55,55 = 625
2. Tegye a mínusz jelet az eredmény elé (azaz végezze el a kivonási műveletet).
   −5 4 = −625

Példa erre. Számolja ki: −6 2 - (−1) 4

1. 6 2 = 6,6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. - (- 1) 4 = −1
5. −36 - 1 = −37

Az eljárás a példákban fokokkal

Az érték kiszámítását exponenciálási műveletnek nevezzük. Ez a harmadik lépés cselekedete.

A zárójeleket nem tartalmazó hatáskörökben először egy energiát hajtanak végre, majd megszorozzák és osztják, majd a végén hozzáadják és kivonják.

Ha zárójel van a kifejezésben, akkor először a fenti sorrendben, végezze el a műveleteket zárójelben, majd a fennmaradó műveleteket ugyanabban a sorrendben, balról jobbra.

A példák megoldásának megkönnyítése érdekében érdemes megismerni és használni a fokozatot, amelyet ingyenesen letölthet honlapunkon.

Az eredmények ellenőrzéséhez használhatja az online fokozat-számológépet honlapunkon.

Száma: meghatározások, megjelölés, példák.

Ebben a cikkben meg fogjuk érteni, hogy mekkora a szám. Itt adjuk meg a szám fokának meghatározását, részletesen megvizsgálva az összes lehetséges mutatót, kezdve a természetes indikátorról és az irracionális. Az anyagban rengeteg példát találsz a fokozatokról, amelyek az összes kifinomultságot lefedik.

Navigáljon az oldalon.

Természetes indikátor, szám négyzet, szám kocka

Először is, megadjuk a természetes indexű szám mértékét. A jövőre nézve azt mondjuk, hogy az a természetes index n-es mértékének meghatározását egy valós számhoz adjuk, amelyet a fokozat alapjává fogunk hívni, és egy természetes n számot, amelyet az exponensnek hívunk. Azt is megjegyezzük, hogy a termékskála által meghatározott mértéket a termék határozza meg, így ahhoz, hogy megértsük az alábbi anyagot, ötletet kell adni a számok szaporodásáról.

A természetes index n értéke a az a n forma kifejezése, amelynek értéke egyenlő a n tényező termékével, amelyek mindegyike egyenlő a, azaz.
Közelebbről, az a és az 1 index az a szám, azaz a 1 = a.

Ebből a definícióból nyilvánvaló, hogy egy természetes mutatóval rendelkező fokozat segítségével több azonos tényező műveit is fel lehet jegyezni. Például a 8 · 8 · 8 · 8-as fokozatot lehet megírni 8 4. Ez hasonló ahhoz, hogy az azonos kifejezések összegét egy művel írják, például 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (lásd a cikk általános elképzeléseit a természetes számok szaporodásáról).

Az olvasási szabályok szabályairól azonnal meg kell mondani. Az n rekord olvasásának univerzális módja: „a n teljesítményéig”. Bizonyos esetekben az ilyen változatok is elfogadhatóak: az „a n-edik fok” és az „n. Például a 8. 12-es fokozatnál ez a „nyolc a tizenkettő erejéig”, vagy a „nyolc a tizenkettedik hatalomhoz”, vagy „a tizenkettedik hatalom nyolc”.

A szám második fokozata, valamint a szám harmadik fokának is saját neve van. A szám második erejét a szám négyzetévé nevezzük, például 7 2 a „hét négyzet” vagy a „hét szám négyzetének”. A szám harmadik erejét egy szám kocka-nak hívják, például az 5-ös számot „öt kocka” -ként lehet olvasni, vagy azt mondani, hogy „egy kocka az 5-ös számnak”.

Itt az ideje, hogy példákat adjunk a természetes mutatókkal. Kezdjük az 5 7-es fokozattal, itt 5 a fokozat alapja, 7 pedig az exponens. Adjunk még egy példát: a 4.32-es decimális frakció az alap, és a pozitív egész 9 egy exponens (4.32) 9.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó példában a 4.32-es fokozat alapja zárójelben van: az eltérések elkerülése érdekében minden fokozat alapját zárójelben fogjuk venni, amelyek különböznek a természetes számoktól. Például természetes mutatókkal adjuk meg a következő fokozatokat, alapjaik nem természetes számok, így zárójelben vannak. Nos, a teljes egyértelműség érdekében ebben a pillanatban megmutatjuk a (−2) 3 és −2 3 formanyomtatványok rekordjaiban található különbséget. A (−2) 3 kifejezés a negatív szám −2 szintje a természetes 3 indexgel, és a −2 3 kifejezés (ez írható mint - (2 3)) megfelel a 2 3 értékkel ellentétes számnak.

Ne feledje, hogy van egy jelölés az a a n n űrlap indexével. Továbbá, ha n egy többértékű pozitív egész szám, akkor az exponens zárójelben van. Például a 4 ^ 9 a 4 fokozat másik bejegyzése. Íme néhány további példa a „^” szimbólum használatával: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). A következőkben főként az a n-es fokozat fokozatát használjuk.

A fenti definíció lehetővé teszi a fokozat értékének természetes indikátorral történő megtalálását. Ehhez számítsuk ki az n egyenlő tényezőnek megfelelő terméket. Ezt a témát külön cikkben érdemes megvizsgálni - lásd az exponenciálódást egy természetes mutatóval.

Az egyik feladat, a konstrukció fordítottja egy természetes indikátorral, az a probléma, hogy a fokozat alapját egy bizonyos fokú ismert érték és egy ismert mutató határozza meg. Ez a feladat egy gyökér fogalmához vezet.

Érdemes megvizsgálni a természetes indexű fokozat tulajdonságait is, amelyek a szorzás mértékének és tulajdonságainak e definíciójából következnek.

Teljes egész szám

Miután meghatároztuk az a mértékét egy természetes mutatóval, logikus vágy keletkezik a fok fogalmának kiterjesztésére, és továbblépünk egy olyan számra, amelyből egy egész szám, beleértve a negatív és nullát is, indikátor lesz. Ezt úgy kell végrehajtani, hogy a természetes indexű fokozat minden tulajdonsága érvényes maradjon, mivel a természetes számok egész számok részét képezik.

A pozitív egész számmal rendelkező a mértéke nem más, mint az a a természetes exponenssel :, ahol n pozitív egész szám.

Most meghatározzuk az a nulla teljesítményét. Térjünk a részleges erő tulajdonságaiból ugyanazokkal az alapokkal: az m és n természetes számokra, m m: a n = a m - n (az a ≠ 0 feltétel szükséges, mert különben nulla lesz az osztás). Az m = n esetében az írásbeli egyenlőség a következő eredményre vezet: a n: a n = a n - n = a 0. Másrészről, a n: a n = 1 az egyenlő számok a n és a n hányadosaként. Ezért elfogadnunk kell egy 0 = 1 értéket minden nem sztereó valós számhoz a.

De mi a helyzet nullától nulla fokig? Az előző bekezdésben alkalmazott megközelítés ebben az esetben nem alkalmas. A fokozatok termékének tulajdonságát ugyanazokkal a bázisokkal tudjuk felidézni: a m · a n = a m + n, különösen, ha n = 0, van egy m · a 0 = a m (ez az egyenlőség azt is mutatja, hogy a 0 = 1). Az a = 0 esetében azonban az egyenlőség 0 m · 0 0 = 0 m, ami 0 = 0-ra írható, minden természetes m esetében igaz, függetlenül attól, hogy a 0 0 kifejezés értéke egyenlő. Más szóval, 0 0 lehet egyenlő bármely számmal. A kétértelműség elkerülése érdekében nem adunk nulla értéket a nulla erejéhez (ugyanazon okokból, amikor megosztottságot tanulunk, nem adtunk értelmet a 0: 0 kifejezésnek).

Könnyen ellenőrizhető, hogy a 0 = 1 egyenlőség az a nem nullás számok esetében a fokozat (a m) n = a m · n fokú tulajdonságával összhangban van. Valójában n = 0 esetén (a m) 0 = 1 és a m · 0 = a 0 = 1, és m = 0 esetén (a 0) n = 1 n = 1 és a 0 · n = a 0 = 1.

Tehát nulla mutatóval jöttünk egy fokozat meghatározására. A n értéke a nulla exponens (nem nulla valós szám) egy, azaz a 0 = 1 a ≠ 0 esetén.

Adjunk példákat: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1, és 0 0 nincs megadva.

Az a szám nulla fokát határozzuk meg, az a szám egész negatív mértékének meghatározása. Ez ugyanazokat a tulajdonságokat fog segíteni a fokozatok termékének ugyanazokkal az alapjaival, ahol a m · a n = a m + n. M = −n-t veszünk igénybe, amelyhez az a ≠ 0 feltétel szükséges, majd egy −n · a n = a −n + n = a 0 = 1, ahonnan arra a következtetésre jutunk, hogy a n és a −n kölcsönösen inverz számok. Tehát logikus az a szám meghatározása az egész negatív fokra - n, mint frakció. Könnyen ellenőrizhető, hogy egy ilyen feladattal a negatív egész számmal rendelkező nem-nullás szám a természetes indexgel rendelkező összes tulajdonságra érvényes marad (lásd egy egész index indexű tulajdonságait), amit mi akartunk

Halljuk meg a teljes negatív indexű fokozat definícióját. A negatív egész számmal (nn nem nulla valós szám) az a fok egy frakció, azaz a ≠ 0 és egy pozitív n.

Fontolja meg ezt a meghatározást egy bizonyos negatív egész számmal meghatározott példákban :.

Adja meg az elem információit.

Az a-es szintet z egész számmal definiáljuk:

Racionális mutatóval rendelkező fokozat

Az a szám egész számaiból a racionális indikátorra való áttérés önmagát jelzi. Az alábbiakban egy racionális mutatóval rendelkező fokozatot definiálunk, és úgy fogjuk megtenni, hogy a fokozat összes tulajdonsága az egész mutatóval megmaradjon. Ez azért szükséges, mert az egész számok a racionális számok részét képezik.

Ismeretes, hogy a racionális számok halmaza egész számokból és töredékszámokból áll, és minden frakcionális szám pozitív vagy negatív közönséges frakcióként ábrázolható. Meghatároztuk az előző bekezdésben az egészszámú exponens mértékét, ezért a racionális exponenssel rendelkező exponens definíciójának teljesítéséhez a m / n frakcionált exponens fokozatának jelentését kell megadnunk, ahol m egész szám és n természetes. Tegyük meg.

Vegyünk egy fokozatot egy frakcionált exponenssel. Annak érdekében, hogy bizonyos fokig megőrizzék a tulajdon tulajdonságát, az egyenlőségnek teljesülnie kell. Ha figyelembe vesszük a megszerzett egyenlőséget és azt, hogy hogyan határoztuk meg az n-es fokozat gyökerét, akkor logikus elfogadni, feltéve, hogy adott m, n és a esetében a kifejezésnek értelme van.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az egész számmal rendelkező fokozat összes tulajdonsága érvényes-e (ezt a fokozat tulajdonságait racionális mutatóval végezzük).

A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy az alábbi következtetést tegyük: ha az adott m, n és a esetében az kifejezésnek értelme van, akkor a m / n-es frakcionális indexű a-es fokozat az n-es fokozat gyökere a -tól m-ig.

Ez a kijelentés szorosan hozza meg a fokozat definícióját egy frakcionált exponenssel. Csak írásra van szükség, amelyre m, n és a értelme. Az m, n és a korlátozásoktól függően két alapvető megközelítés létezik.

A legegyszerűbb a korlátozás bevezetése az a-ra, a pozitív m esetén a≥0, a negatív m esetén pedig a> 0 (mivel m≤0 esetén a 0 m-es fokozat nincs meghatározva). Ezután a következő definíciót kapjuk egy töredék-exponenssel.

A pozitív szám a m / n frakcionált indexgel, ahol m egy egész és n egy pozitív egész szám, az a n gyökere az m teljesítményéhez, azaz.

A nulla frakcionált fokát az egyetlen fenntartással határozzák meg, hogy a mutatónak pozitívnak kell lennie.

A m / n-es frakcionált pozitív indexgel rendelkező nullát, ahol m pozitív egész szám és n pozitív egész szám, úgy definiáljuk, mint a.
Ha a fokozatot nem határozzuk meg, vagyis a nulla számának mértéke egy frakcionált negatív mutatóval nincs értelme.

Meg kell jegyeznünk, hogy egy olyan fokozat-definícióval, amely frakcionális exponenssel rendelkezik, van egy árnyalat: néhány negatív a és néhány m és n esetében az expressziónak van értelme, és ezeket az eseteket az a≥0 állapot megadásával elvetettük. Például van értelme írni, vagy, és a fentiekben megadott definíció azt mondja, hogy a fajok frakcionált indexével rendelkező foka nem értelme, mivel az alap nem lehet negatív.

A frakcionált m / n-es fokozat meghatározásának másik megközelítése, hogy a páros és páratlan gyökérindexeket külön-külön vizsgáljuk. Ez a megközelítés további feltételt igényel: az a szám, amelynek mutatója egy csökkentett frakció, az a szám, amelynek indikátora a megfelelő irreducibilis frakció (a magyarázatot ennek az állapotnak a lényegét alul) magyarázza. Ez azt jelenti, hogy ha m / n nem redukálható frakció, akkor bármely természetes k szám esetén a fokozatot helyettesíti.

Még n és pozitív m esetén az expresszió minden nem negatív a számára értelme (a negatív szám egyenlő gyökere nem értelme), negatív m esetén az a számnak is nullának kell lennie (egyébként nullával oszlik meg). A páratlan n és a pozitív m esetén az a szám lehet bármilyen (a páratlan fokozat gyökere meghatározható bármely valós számra), és negatív m esetén az a szám nem lehet nulla (úgy, hogy nulla nem legyen osztva).

A fenti érvelés egy olyan fokozat meghatározásához vezet, amely frakcionális exponenssel rendelkezik.

Legyen m / n egy redukálhatatlan frakció, m egész szám, n pedig pozitív egész szám. Bármely csökkenthető frakció esetében a fokozatot a. A m / n értékű, redukálhatatlan frakcionális exponens mértéke az

• például bármely valós szám a, pozitív m egész szám és n némely pozitív pozitív egész szám;
• például bármely nem nulla valós szám a, egy teljes negatív m és egy páratlan n;
• bármilyen nem negatív szám a, egész szám pozitív m és még n, például;
• bármely pozitív a, egész negatív m és még n, például;
• más esetekben a frakcionált exponenssel végzett fokozat nincs meghatározva, például a fokozatok nincsenek meghatározva.

Elmagyarázzuk, miért helyettesítjük előzetesen egy megszakítható frakcionált exponenssel rendelkező fokozatot egy nem redukálható exponenssel rendelkező exponenssel. Ha egyszerűen meghatároztuk a fokozatot, és nem tettünk fenntartást az m / n frakció redukálhatatlanságára, akkor az alábbi helyzetekkel szembesülnénk: 6/10 = 3/5 óta az egyenlőségnek meg kell tartania, de a.

Ne feledje, hogy a frakcióindexű fokozat első meghatározása könnyebben használható, mint a második. Ezért ezt a jövőben fogjuk használni.

a pozitív szám a m / n frakcionált indexgel definiálható, mivel negatív rekordok esetében nem adunk semmilyen jelentést, a n / z számot pozitív m / n frakcionális mutatókhoz határozzuk meg, mivel a negatív frakcionális mutatók esetében a nulla számot nem határozzák meg.

E bekezdés következtében felhívjuk a figyelmet arra, hogy a frakcionált exponens egy tizedes vagy egy vegyes szám formájában írható, például. Az ilyen típusú kifejezések értékeinek kiszámításához meg kell írni az exponent egy szokásos frakció formájában, majd a fokozat meghatározását frakcionális exponenssel kell használni. A jelzett példákhoz van és.

Az irracionális és érvényes mutatóval rendelkező fokozat

Ismeretes, hogy a valós számok halmaza a racionális és irracionális számok halmazainak egyesülése. Ezért az érvényes mutatóval rendelkező fokozat akkor tekinthető definiáltnak, ha egy racionális indikátorral rendelkező fokozatot és egy irracionális mutatóval rendelkező fokozatot határoznak meg. Az előző bekezdésben racionális mutatóval beszéltünk a diplomáról, továbbra is irracionális mutatóval kell foglalkoznunk.

Az irracionális mutatóval rendelkező a szintjét fokozatosan közelítjük meg.

Legyen egy irracionális szám tizedes megközelítésének sorozata. Vegyünk például egy irracionális számot, akkor elfogadhatod, vagy, stb. Érdemes megjegyezni, hogy a számok racionálisak.

A racionális számok szekvenciája a fokozatok sorrendjéhez tartozik, és ezeknek a fokoknak az értékeit a cikk racionális mértékű emelése alapján tudjuk kiszámítani. Például vegyünk egy = 3-at, aztán, és egy hatalomra emelés után kapunk.

Végül a szekvencia egy bizonyos számra konvergál, ami az a-nak az irracionális exponenssel való erejének értéke. Térjünk vissza a példánkhoz: az űrlap irracionális mutatójával rendelkező fokozat egy 6,27-es számmal konvergál egy századpontos pontossággal.

A pozitív szám egy és irracionális indexű mértéke olyan kifejezés, amelynek értéke egyenlő a szekvencia határával, ahol az irracionális szám egymást követő decimális közelítései vannak.

A nulla számát pozitív irracionális mutatókhoz határozzuk meg ezzel. Például. És a negatív irracionális mutatóval rendelkező 0-as szám nem határozható meg, például nincs meghatározva.

Különben meg kell mondani az egység irracionális mértékéről - az egység bármilyen irracionális fokban 1. Például, és.

Gyökerek és fokok

fokú

A fokozat az űrlap kifejezése :, ahol:

• - a fokozat alapja;
• - exponens.

Természetes mutatóval rendelkező fokozat

Egy olyan fokozat fogalmát definiáljuk, amelynek indexe természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Meghatározás szerint :.
2. Egy szám négyzetének szaporítása önmagában:
3. Ha egy számot kocka-ba építünk, akkor azt háromszorosára szaporítjuk :.

A szám természetes szintre emelése azt jelenti, hogy a számot ismét szaporítjuk:

Teljes egész szám

Ha az exponens pozitív egész szám:

, n> 0

Emelkedés nulla fokig:

, a ≠ 0

Ha az exponens negatív egész szám:

, a ≠ 0

Megjegyzés: a kifejezés nem definiált, abban az esetben, ha n <0. Ha n> 0, akkor

Racionális mutatóval rendelkező fokozat

• a> 0;
• n természetes szám;
• m egész szám;

A fokozatok tulajdonságai

gyökér

Aritmetikai négyzetgyök

Az egyenletnek két megoldása van: x = 2 és x = -2. Ezek azok a számok, amelyek négyzete 4.

Tekintsük az egyenletet. Rajzoljuk le a függvény grafikonját, és nézzük meg, hogy ez az egyenletnek két megoldása van, egy pozitív, a másik negatív.

De ebben az esetben a megoldások nem egész számok. Ráadásul nem racionálisak. Ezen irracionális döntések megírásához speciális négyzetgyökér karaktert vezetünk be.

A számtani négyzetgyök egy nem negatív szám, amelynek négyszöge a ≥ 0. Ha a

A fok és annak tulajdonságai. Fokozat meghatározása

Szakaszok: Matematika

Ismerje meg a diákokat a fokozatok tulajdonságával a természetes mutatókkal, és tanítsa meg, hogyan kell fokozatos műveleteket végrehajtani.

A „Fokozat és tulajdonságai” témakör három kérdést tartalmaz:

• A mérték meghatározása természetes mutatóval.
• Szorzás és hatáskörmegosztás.
• A termék fokának és fokának emelése.

Adjon meg egy olyan fokozatot, amelynek természetes indexe nagyobb, mint 1. Adjon példát.

Adja meg a mérték meghatározását az 1. mutatóval. Adjon példát.

Milyen sorrendben történik a fokozatot tartalmazó kifejezés értékének kiszámítása?

Adja meg a fokozat alapvető tulajdonságát. Adjon példát.

A fokok szaporodásának szabályát ugyanazokkal a bázisokkal kell megfogalmazni. Adjon példát.

Formázza meg a szétválasztási szabályt ugyanazokkal az alapokkal. Adjon példát.

Adja meg a munka mértékére vonatkozó szabályt. Adjon példát. Bizonyítsuk be az identitást (ab) n = a n • b n.

Adja meg a fokozat exponenciálási szabályát. Adjon példát. Bizonyítsuk be az identitást (a m) n = a m n.

Az a, amelynek természetes indexe n nagyobb, mint 1, az n tényezők eredménye, amelyek mindegyike a. Az a és az 1 index az a szám.

A bázis és az n-es fokozat a következőképpen íródik: a n. Olvassa el az „a n erejéig”; „Az„ N-es ereje ”.

Definíció szerint fok:

A fokérték-értéket exponenciálásnak nevezik.

1. Példák az exponenciálásra:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Képzelj el egy négyzetszámot: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Jelenítse meg a számok kocka formájában:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Keresse meg a kifejezések értékeit:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Írja be a munkát fokozatként:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Négyzetszám formájában van jelen:

3. Jelenítse meg a számok kocka formájában:

4. Keresse meg a kifejezések értékeit:

Bármely szám és a tetszőleges m és n szám esetén:

a m a n = a m + n.

Szabály: Ha a bázisokat azonos bázisokkal szaporítjuk, a bázisok változatlanok maradnak, és az exponensek összeadódnak.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Képessé váljon:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Adja meg a fokozatot és keresse meg az értéket a táblázatban:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Képessé váljon:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Adja meg a fokozatot és keresse meg az értéket a táblázatban:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 3 2 g) 27 • 243

Bármely számhoz a 0 és tetszőleges pozitív egész számok m és n, hogy m> n igaz:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

definíció szerint magán:

a m: a n = a m - n.

Szabály: Ha a fokozatokat azonos bázisokkal osztjuk el, akkor az alap ugyanaz marad, és az osztófokot levonjuk az exponensből.

Meghatározás: A nem egyenlő a nullával, nulla exponenssel egyenlő:

Számokat. A szám mértéke.

Jól ismert tény, hogy több egyenlő komponens összege megtalálható a szorzással. Például: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Egy ilyen kifejezés azt jelenti, hogy az egyenlő komponensek egy termékké alakultak. És fordítva, ha ezt az egyenlőséget jobbról balra olvassuk, azt kapjuk, hogy az egyenlő feltételek összegét kibővítettük. Hasonlóképpen összeomlik a több azonos tényező 5x5x5x5x5x5 = 5 6 terméke.

Ez azt jelenti, hogy a hat azonos 5x5x5x5x5x5 tényező szorzása helyett 5 6-at írnak, és azt mondják: „öt-hatodik fok”.

Az 5 6 kifejezés a szám ereje, ahol:

5 - a fokozat alapja;

6 - exponens.

A cselekvéseket, amelyekkel az egyenlő tényezők terméke minimálisra kerül a hatalomra, nevezik exponenciálásnak.

Általában az "a" bázissal és az "n" indexgel ellátott fokozatot a következőképpen írják:

Ahhoz, hogy az n számot n értékre emeljük, az n tényező termékének megkeresése, amelyek mindegyike a

Ha az „a” fokozat alapja 1, akkor a természetes n értékének értéke 1. Például: 1 5 = 1, 1 256 = 1

Ha az „a” számot az első fokozatra emeljük, akkor az a számot kapjuk: a 1 = a

Ha a számot nulla fokra emeljük, akkor a számítások eredményeként kapunk egyet. a 0 = 1

Különös tekintettel a második és a harmadik fokozatra. Mert nekik jöttek a név: a második fokozatot a szám négyzetének nevezik, a harmadik pedig a szám kocka.

Bármelyik számot fel lehet emelni egy teljesítményre - pozitívra, negatívra vagy nullára. Nem használja a következő szabályokat:

-a pozitív szám meghatározásával pozitív számot kapunk.

-amikor a nullát természetes mértékben kiszámítjuk, nulla lesz.

- a negatív szám mértékének kiszámításakor az eredmény pozitív szám és negatív szám lehet. Ez attól függ, hogy az exponens páratlan vagy páratlan.

Ha néhány példát megoldunk a negatív számok mértékének kiszámítására, akkor kiderül, hogy ha egy negatív szám páratlan mértékét számítjuk ki, akkor az eredmény egy mínuszjelet tartalmazó szám lesz. Mivel a páratlan számú negatív tényező szorzásakor negatív értéket kapunk.

Ha negatív számra egyenletes mértéket számolunk, akkor az eredmény pozitív szám lesz. Mivel a negatív tényezők páros számát megszorozva pozitív értéket kapunk.

Tulajdonság fokozat természetes jelzővel.

Ahhoz, hogy a fokozatokat azonos bázisokkal szaporítsuk, nem változtatjuk meg az alapokat, és hozzáadjuk a fokozatok exponenseit:

például: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Annak érdekében, hogy a fokozatokat ugyanazokkal az alapokkal elválasszuk, nem változtatjuk meg a bázist, de kivonjuk az exponenseket:

például: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3.6

A fokozat exponenciálódásának kiszámításakor nem változtatjuk meg a bázist, és megszorozzuk a fokok exponenseit.

például: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Ha szükséges az erekció kiszámítása a termék fokára, akkor mindegyik tényező emelésre kerül.

például: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Amikor egy frakció felépítésénél számításokat végez, emeljük a frakció számlálóját és nevezőjét erre a teljesítményre.

például: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

A számítások sorrendje a fokozatot tartalmazó kifejezésekkel való munka során.

Amikor számításokat végez, zárójel nélküli kifejezéseket, de fokozatokat tartalmazó kifejezéseket, először az exponenciálást, majd a műveletek szétválasztását és felosztását végzi, és csak akkor adja hozzá és vonja le a műveleteket.

Ha zárójeleket tartalmazó kifejezést kell kiszámítani, akkor először a fent megadott sorrendben zárójelben, majd a fennmaradó műveleteket ugyanabban a sorrendben, balról jobbra készítjük.

A számítások egyszerűsítésének gyakorlati számításaiban igen széles körben használatos fokozatok táblázatokat használnak.

Magyarázza el, hogyan lehet megtalálni egy szám hatalmát

Időt takaríthat meg, és nem látja a hirdetéseket a Knowledge Plus szolgáltatással

Időt takaríthat meg, és nem látja a hirdetéseket a Knowledge Plus szolgáltatással

A válasz

A válasz adott

19kot

Csatlakozzon a Knowledge Plus-hoz, hogy elérje a válaszokat. Gyorsan, reklám és szünet nélkül!

Ne hagyja ki a fontosakat - csatlakoztassa a Knowledge Plus-t, hogy a választ most láthassa.

Nézze meg a videót a válasz eléréséhez

Ó, nem!
A válaszmegtekintések véget érnek

Csatlakozzon a Knowledge Plus-hoz, hogy elérje a válaszokat. Gyorsan, reklám és szünet nélkül!

Ne hagyja ki a fontosakat - csatlakoztassa a Knowledge Plus-t, hogy a választ most láthassa.

Nézze meg a videót a válasz eléréséhez

Ó, nem!
A válaszmegtekintések véget érnek

• Comments
• Jelzés megsértése

A válasz

A válasz adott

Nadirka212

A legmegfelelőbb dolog az, hogy a számokat elsődleges tényezőkké bontjuk, majd megtalálhatjuk mind az alapot, mind az exponenset.
Ha a bázis ismert, akkor a mutatót logaritmizálással lehet megtalálni, például
2 ^ x = 8
Ahhoz, hogy x megtalálható legyen, meg kell számítania az alap 2 részeit
x = a 2-es bázisba való belépés 8 = ln 8 / ln 2-ből (ez a számológépen kiszámítható) = 3
Ha a jelző ismert, a bázis megtalálható például a gyökér kivonásával.
x ^ 3 = 8
a kubikus gyökér kivonása mindkét részből
x = kubikus gyökér 8 = 2

Ha egyik sem ismeri egyikét sem, szétválaszthatja a számot elsődleges tényezőkké, ezt úgy végezzük, hogy a számot egymás után osztja elsődleges tényezőkre
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
A 2401 nem osztható 2-gyel, 3-mal, 5-rel (egymás után ismétlődik a prímszámok felett)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Összesen tehát 2-szer nyolcszor és 7-szer négyet osztottunk meg
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Ha egy a ^ b formátumot szeretnénk megtalálni a természetes a-val és b-vel, és b-nek maximálisnak kell lennie, akkor b-ként a bomlás során kapott fokozatok GCD-jét kell prímfaktoroknak tekinteni, azaz ebben az esetben b = GCD (8.4) = 4
az a fokozat alapja 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

A fok és annak tulajdonságai. A kezdeti szint.

A fokozat az űrlap kifejezése :, ahol:

Teljes egész szám

amelynek mértéke természetes szám (azaz egész és pozitív).

Racionális mutatóval rendelkező fokozat

amelynek mértéke negatív és töredékszám.

Egy irracionális exponenssel rendelkező fokozat

mértéke, amelynek exponense végtelen tizedesrész vagy gyökér.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám egy egyenletes teljesítményre pozitív szám.
• A páratlan teljesítményre emelt negatív szám negatív szám.
• A pozitív szám bármilyen mértékben pozitív szám.
• A nulla egyenlő bármely fokú.
• Minden szám nulla fok.

Mi a szám hatalma?

Az exponálás ugyanaz, mint a hozzáadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most nagyon egyszerű példákkal elmagyarázom mindent emberi nyelven. Légy figyelmes. Példák az elemi, de a fontos dolgokat magyarázzák.

Kezdjük a hozzáadással.

Itt semmi sem magyarázható. Már tudod mindent: közülünk nyolc van. Mindegyikben két üveg kóla van. Mennyi a cola? Ez igaz - 16 palack.

Most szaporodj.

Ugyanez a példa a Coke-szal másképpen írható :. A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észlelnek néhány mintát, és aztán jönnek létre, hogy gyorsan számolhassák őket. Esetünkben észrevették, hogy a nyolc ember mindegyikének azonos számú üveg cola van, és egy szaporodásnak nevezett eszközzel jött létre. Elismerik, hogy könnyebbnek és gyorsabbnak tekintik, mint.

Itt van a szorzótábla. Ismételjük meg.
Tehát gyorsabb, könnyebb és hibamentesebb számoláshoz csak a szorzótáblát kell emlékeznie. Természetesen mindent lassabban, nehezebbé és hibásabbá tehetsz! De...

Itt van a szorzótábla. Ismételjük meg.

És egy másik, szebb:

Milyen más okos trükköket találtak a lusta matematikusok? Helyesen - a szám bevezetése a fokozatban.

Szám növelése egy hatalomra.

Ha többször meg kell szorozni a számot öt alkalommal, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot ötödik fokra kell építeni. Például. A matematikusok emlékeznek arra, hogy ez az ötödik fok. Ezeket a rejtvényeket szem előtt tartva gyorsabban, könnyebben és hibamentesen oldja meg.

Ehhez csak emlékezzünk arra, hogy mi van a színekben kiemelve a számjegyek táblázatában. Higgy nekem, ez sokkal könnyebbé teszi az életedet.

Egyébként, miért hívják a második fokozatot a szám négyzetének, a harmadik pedig a kocka? Mit jelent ez? Nagyon jó kérdés. Most négyzetek és kockák lesznek.

Például az №1 életéből.

Kezdjük egy négyzet vagy egy második fokszámmal.

Képzeld el, hogy egy négyzetméternyi métert mérő négyzetméter. A medence a dachában van. Melegítsen és valóban úszni akar. De... a medence nélkül! Szükséges a medence csempe alját lefektetni. Hány csempe van szüksége? Ennek megállapításához meg kell ismernie a medence aljának területét.

Egyszerűen számolhatsz, ujjával dugaszolhatsz, hogy a medence alja mérőméterenként négyzetméterből áll. Ha van egy csempe mérője méterenként, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempe? A csempe nagyobb valószínűséggel látni fogja a cm-t, majd az ujját kínozza. Akkor meg kell szaporodnia. Tehát, a medence alján az egyik oldalon csempe (darab) és másfelől csempék is illeszkednek. Szorzással kapsz csempe ().

Észrevetted, hogy a medence aljának területének meghatározásához ugyanazt a számot megszorozta? Mit jelent ez? Amint ugyanazt a számot megszorozzuk, használhatjuk az „exponencia” technikát. (Természetesen, ha csak két számod van, akkor még mindig szaporodsz, vagy hatalomra emeled őket. De ha sok van velük, akkor sokkal könnyebb felvenni őket egy hatalomra, és a számítási hibák is kisebbek. Az egységesített állami vizsga esetében ez nagyon fontos)
Tehát harminc a második fokig lesz (). Vagy azt mondhatod, hogy harminc négyzet lesz. Más szavakkal, a szám második szintje mindig négyzetként ábrázolható. Ezzel szemben, ha lát egy négyzetet, akkor MINDEN az adott szám második teljesítménye. A négyzet egy szám második fokozatú képe.

Példa a №2 életéről.

Itt van egy feladat, számítsuk ki, hogy hány négyzetek van egy sakktáblán egy szám négyzetének segítségével. A sejtek egyik oldalán és a másik oldalon is. A számuk kiszámításához nyolcszor nyolcszor kell lennie, vagy... ha észreveszed, hogy egy sakktábla egy négyzet egy oldallal, akkor nyolc négyzetet építhetsz. Kap egy cellát. Tehát?

Példa a 3. szám életéről.

Most a kocka vagy egy harmadik hatalom. Ugyanaz a medence. De most már tudnia kell, hogy mennyi vizet kell öntenie a medencébe. Számítania kell a kötetet. (A térfogatok és folyadékok, köztük, köbméterben mérhetők. Váratlanul, ugye?) Rajzolj egy medencét: az alsó mérete egy méter és egy méter mély, és próbáld kiszámítani, hogy hány köbméternyi métert fog a mérőóra bemenni a medencébe.

Csak mutasd az ujját és számolj! Egy, kettő, három, négy... huszon kettő, huszonhárom... Mennyibe került ez? Nem túl Nehéz számolni egy ujjal? Ez az! Vegyük a matematikusok példáját. Lustaak, így észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámítása érdekében meg kell szorozni egymás hosszát, szélességét és magasságát. Esetünkben a medence térfogata megegyezik a kockákkal... Könnyebb, ugye?

És most képzeld el, hogy a matematikusok lustaak és ravaszok, ha egyszerûsítik. Mindent egyetlen akcióba vitt. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanazt a számot megszorozta... És mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy használhatja a fokozatot. Tehát, amit egyszer egy ujjnak számítottál, egy akcióban csinálnak: három egy kockában egyenlő. Ez így van írva :.

Csak a fokozatok tábláját kell emlékezni. Ha természetesen olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeretne keményen dolgozni és hibázni, folytathatja az ujját.

Nos, hogy végül meggyőzze Önt arról, hogy a fokozatokat a quitterek és a megtévesztők találták életük problémáinak megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak neked, itt van még néhány példa az életről.

Példa a №4 életéből.

Egy millió rubel van. Minden év elején minden millió millióra jut el. Ez azt jelenti, hogy minden egyes millió az év elején megduplázódik. Mennyi pénz lesz években? Ha ül és „ujj számlál”, akkor nagyon keményen dolgozó ember vagy... hülye. De valószínűleg néhány másodperc múlva válaszolsz, mert okos vagy! Szóval, az első évben - két-két alkalommal... a második évben - mi történt, egy másik kettővel, a harmadik évben... Stop! Észrevetted, hogy a számot egyszer megismétli. Tehát kettő az ötödik fokig - egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és azok, akik megkapják a milliót, gyorsabbak lesznek... Meg kell emlékezni a számok mértékére, hogyan gondolod?

Egy példa az 5-ös életszámról.

Van egy millió. Minden év elején több mint két millióra jutsz. Wow, tényleg? Minden millió millió. Mennyi pénz lesz egy év alatt? Nézzük. Az első év szaporodik, akkor az eredmény még mindig... Az már unalmas, mert már mindent megértettél: háromszor önmagával szaporodik. A negyedik fok tehát egy millió. Csak emlékeznie kell arra, hogy három-negyedik fokú vagy.

Most már tudod, hogy a hatalomhoz való szám emelésével nagyban megkönnyíted az életedet. Nézzük tovább, hogy mit tehetünk a fokozatokkal, és mit kell tudni róluk.

Feltételek és fogalmak.

Tehát kezdjük a fogalmak meghatározásával. Mit gondolsz az exponens? Ez nagyon egyszerű - ez az a szám, amely a szám tetején van. Nem tudományos, de érthető és könnyen megjegyezhető...

Tehát ugyanakkor mi az alapja a fokozatnak? Még egyszerűbb az alján lévő szám, alul.

Itt van egy kép a hűségedről.

Általánosságban elmondható, hogy összefoglalni és jobban emlékezni... A " és a " jelű " diplomát "a fokozatnak" kell tekinteni, és a következőképpen íródik:

Továbbá miért mondjuk a "számok számát egy természetes mutatóval"?

"A természetes jelzőszámok száma"

Valószínűleg már kitaláltad: mert az exponens természetes szám. Igen, de mi a természetes szám? Elementary! Természetes számok azok, amelyek a tételek listázásakor a fiókban használatosak: egy, kettő, három... Amikor számítunk elemeket, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem is mondjuk: „egyharmad” vagy „nulla pont, öt tized”. Ezek nem természetes számok. És mit gondolsz ezek a számok?

A számok, mint a "mínusz öt", "hat mínusz", "mínusz hét" egész számra utalnak. Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számokat (vagyis egy mínuszjelet), és egy számot. A nulla könnyen érthető - ez az, amikor nincs semmi. És mit jelentenek a negatív (negatív) számok? Először is feltalálták az adósságok kijelölését: ha a telefonban egyensúly van a rubelben, ez azt jelenti, hogy tartozol az operátor rubeléhez.

Bármilyen frakció racionális szám. Hogyan jöttek létre, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy hiányoznak a természetes számok a hosszúság, a súly, a terület stb. És racionális számokkal jöttek... Érdekes, ugye?

Még mindig vannak irracionális számok. Mik ezek a számok? Röviden, végtelen tizedes. Például, ha a kerületet osztják az átmérővel, akkor irracionális számot kapunk.

Összegzés:

• A természetes számok azok a számok, amelyeket a számlálás során használunk, azaz stb.
• Integer - minden természetes szám, természetes szám, mínusz és 0.
• A töredékszámokat racionálisnak tekintjük.
• Az irracionális számok végtelen tizedesjegyek

Természetes mutatóval rendelkező fokozat

Határozzuk meg azt a fokozatot, amelynek indexe természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Bármely szám az első fokozatban egyenlő:
2. Egy szám négyzetének szaporítása önmagában:
3. Egy szám kocka létrehozásához azt jelenti, hogy önmagában háromszorosodik:

Definíció. A szám természetes szintre emelése azt jelenti, hogy a számot ismét szaporítjuk:
.

Száma: meghatározások, megjelölés, példák

Ennek az anyagnak a keretein belül elemezzük, hogy mekkora a szám. Az alapvető definíciók mellett megfogalmazzuk azt is, hogy milyen mértékű a természetes, egész, racionális és irracionális mutatók. Mint mindig, minden koncepciót példákkal illusztrálunk feladatokkal.

Természetes exponensek: a négyzet fogalma és egy szám kocka

Először egy természetes indexgel rendelkező fokozat alapvető definícióját fogalmazzuk meg. Ehhez emlékeznünk kell a szorzás alapszabályaira. Tisztázzuk előzetesen, hogy alapként most egy valós számot fogunk venni (amelyet az a) betű jelez, és egy indikátorként egy természetes számot (n betűvel jelölve).

Az a-es szintje, amelynek természetes indexe n, az n-es számú tényező eredménye, amelyek mindegyike egyenlő az a számmal. A fokozatot így írják: a n, és képlet formájában a kompozíciója a következőképpen ábrázolható:

Például, ha az exponens 1, és az alap a, akkor az a első ereje 1-ként van írva. Figyelembe véve, hogy a a szorzó értéke, és 1 a szorzók száma, arra a következtetésre juthatunk, hogy a 1 = a.

Általánosságban elmondható, hogy a fokozat egy kényelmes formája a nagyszámú egyenlő tényező felvételének. Így a 8 8 8 8 8 rekordtípus 8-ra csökkenthető. Körülbelül ugyanazt a munkát segítünk abban, hogy ne írjunk sok kifejezést (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ezt már elemeztük a természetes számok szaporításával foglalkozó cikkben.

Hogyan kell olvasni a diplomát? Az általánosan elfogadott opció az „a n-nek az erejéig”. Vagy azt mondhatjuk, hogy "n. Fokozat" vagy "n. Fok." Ha azt mondjuk, hogy a példában, amivel találkoztunk a 8 12-es rekordgal, a „8-as fokozatot”, a „8-as fokozatot 12-re” vagy a „12. fokozatot a 8.-re” olvashatjuk.

A második és a harmadik fokozatnak megvan a jól ismert neve: négyzet és kocka. Ha egy második fokozatot látunk, például a 7-es számot (7 2), akkor azt mondhatjuk, hogy "7 négyzet" vagy "a 7-es négyzet". Hasonlóképpen, a harmadik fokozat így szól: 5 3 az 5-ös "kocka" vagy "5" a kocka. Ugyanakkor az is lehetséges, hogy a „második / harmadik fokozatban” standard megfogalmazást használjuk, nem lesz hiba.

Vessünk egy példát egy természetes mutatóval rendelkező fokozatra: 5 7 esetében az öt lesz az alap, a hét pedig az indikátor.

Az alapnak nem kell egész számnak lennie: a fokozat (4, 32) 9 esetében a bázis 4, 32-es töredéke lesz, és a mutató kilenc. Figyeljen a zárójelekre: az ilyen bejegyzések minden fokozatra vonatkoznak, amelyek alapjai eltérnek a természetes számoktól.

Például: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Melyek a zárójelek? Segítenek elkerülni a számítások hibáit. Tegyük fel, hogy két bejegyzésünk van: (- 2) 3 és - 2 3. Ezek közül az első olyan negatív számot jelent, amely mínusz kettő, egy háromszor természetes indexű erőre emelve; a második a 2. fokozat ellentétes értékének megfelelő szám.

Néha a könyvekben egy-egy szám - a ^ n (a a bázis és n - a mutató) teljesítményének kissé eltérő helyesírása érhető el. Ez azt jelenti, hogy 4 ^ 9 ugyanaz, mint a 4 9. Ha n többértékű szám, akkor zárójelben van. Például: 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). De a jelölést n-nél gyakrabban fogjuk használni.

A természetes indexű fokozat értékének kiszámítása könnyen meghatározható a definíciójából: csak n-szer többszöröse van. Erről többet írtunk egy másik cikkben.

A fokozat fogalma egy másik matematikai koncepció ellentéte - a szám gyökere. Ha tudjuk a fok és az exponens értékét, kiszámíthatjuk annak alapját. A fokozatnak olyan sajátos tulajdonságai vannak, amelyek hasznosak a külön anyagban szétszerelt problémák megoldására.

Mi az egész mutató mutatója

A fokozatokban nem csak természetes számok lehetnek, hanem általában minden egész érték, beleértve a negatív és nullákat is, mert az egész számokhoz is tartoznak.

A pozitív egész számmal rendelkező szám mértéke képletként jeleníthető meg :.

Továbbá n minden pozitív egész szám.

Meg fogjuk érteni a nulla fokú fogalmat. Ehhez olyan megközelítést alkalmazunk, amely egyenlő bázisokkal veszi figyelembe az adott hatalom tulajdonságait. A következőképpen fogalmaz:

Az egyenlőség a m: a n = a m - n igaz a feltételek mellett: m és n természetes számok, m n, a ≠ 0.

Ez utóbbi feltétel azért fontos, mert elkerüli a szétválasztást nullával. Ha m és n értéke egyenlő, akkor a következő eredményt kapjuk: a n: a n = a n - n = a 0

Ugyanakkor a n: a n = 1 az a n és a egyenlő számok hányadosa. Kiderül, hogy a nem nulla szám nulla teljesítménye egy.

Ez a bizonyíték azonban nem vonatkozik nulla és nulla fokra. Ehhez szükségünk van egy másik fokú tulajdonságra is - a fokozatokból származó termékek tulajdonsága egyenlő bázisokkal. Ez úgy néz ki: a m · a n = a m + n.

Ha n értéke 0, akkor a m · a 0 = a m (ez az egyenlőség azt is bizonyítja, hogy a 0 = 1). De ha és nulla is, egyenlőségünk 0 m · 0 0 = 0 m, akkor minden természetes n értékre igaz, és nem számít, hogy a fok 0 0, vagyis egyenlő bármely számmal és ez nem befolyásolja az egyenlőség lojalitását. Ezért a 0 0 űrlap rekordja nem rendelkezik saját különleges jelentésével, és nem tulajdonítjuk hozzá.

Kívánt esetben könnyű ellenőrizni, hogy a 0 = 1 a fokozat (a m) n = a m · n tulajdonságával konvergál, feltéve, hogy a fok alapja nem nulla. Így a nulla exponenssel rendelkező nem nulla szám egyike.

Vessünk egy példát konkrét számokkal: Tehát 5 0 egy egység, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, és a 0 0 érték nincs meghatározva.

A nulla fokozat után meg kell állapítanunk, hogy milyen mértékben negatív. Ehhez ugyanolyan tulajdonságokra van szükségünk, mint a fokozatok termékének egyenlő bázisokkal, amelyeket már korábban is használtunk: a m · a n = a m + n.

Bemutatjuk a feltételt: m = - n, akkor az a nem lehet nulla. Ebből következik, hogy a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Kiderül, hogy a n és a - n egymással fordított számok.

Ennek eredményeként az a negatív mértékben nem más, mint az 1 a n.

Egy ilyen megfogalmazás megerősíti, hogy egy teljes negatív indexű fokozat esetében ugyanazok a tulajdonságok, mint egy természetes indexű fokozat (feltéve, hogy az alap nem nulla) érvényesek.

Az n negatív egész számmal rendelkező fokát 1a n-es frakcióként lehet ábrázolni. Tehát a - n = 1 a n az a ≠ 0 és n alatt minden pozitív egész szám.

Konkrét példákkal illusztráljuk gondolatainkat:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

A bekezdés utolsó részében mindent megpróbálunk az egyik képletben egyértelműen ábrázolni:

Az a érték, amelynek természetes indexe z, az: az = az, e és l és z az a l és z értéke 0 és z = 0 és a ≠ 0, (p p p és z = 0 és a = 0 p o o o c e e 0 0, vagyis a 0 0 n e r o c oo) A f e l e l i i i) 1 az, e s c és z a f e r a t o l a n e n e a l o a ≠ 0 ( e sl és z - a sorozat egésze és a = 0 végtelenül i 0 z, ego körül N o n e o n e i o c i i s i)

Mi az a racionális exponens?

Olyan esetekben dolgoztunk, amikor egy egész szám az exponensben van. Ugyanakkor lehetséges, hogy egy számot egy teljesítményre emeljünk akkor is, ha az indexben egy töredékszám van. Ezt racionális exponensnek nevezik. Ezen a ponton bizonyítjuk, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a többi fok.

Mi a racionális szám? A készletük egész és töredékszámot is tartalmaz, míg a töredékszámok normál frakciókként (mind pozitív, mind negatív) ábrázolhatók. Megfogalmazzuk az a mértékének meghatározását egy m / n frakcionált exponenssel, ahol n pozitív egész szám és m egész szám.

Van egy bizonyos mértékű a m n frakcionális exponens. Annak érdekében, hogy a fokozat fokozatosan tartsa, az a m n n = a m n · n = a m egyenlőségnek igaznak kell lennie.

Figyelembe véve az n-es fokozat gyökér definícióját és a m n n = a m, elfogadhatjuk az a m n = a m n állapotot, ha a m n értelme az adott m, n és a értéknél.

A fenti értékek egész számmal rendelkező fenti tulajdonságai az a m n = a m n állapotban lesznek igazak.

Az érvelésünk fő következtetése a következő: egy bizonyos számú, m / n frakcionált exponenssel rendelkező a szám az n-es fokozat gyökere az a-től a m-ig terjedő számig. Ez igaz, ha az m, n és a megadott értékeknél az a m n kifejezés megtartja jelentését.

Ezután meg kell határoznunk, hogy a változók értékei milyen korlátozásokat vezetnek be ilyen feltételre. A probléma megoldására két megközelítés létezik.

1. Korlátozhatjuk a fokozat bázisának értékét: veszünk egy a-t, amely m pozitív értékeinél nagyobb lesz vagy egyenlő lesz 0-val, és negatív értékekre, szigorúan kevesebb (mivel m ≤ 0 esetén 0 m-et kapunk, és ez a fokozat nincs megadva). Ebben az esetben a fokozat meghatározása frakcionált indexgel a következő lesz:

A m / n frakcionált exponens fokozattal néhány pozitív szám esetén a m n. Gyökere az m teljesítményéhez képest. A képlet formájában ez a következő lehet:

A nulla bázisú fokozatnál ez a pozíció is alkalmas, de csak akkor, ha indexe pozitív szám.

Egy nulla bázisú és frakcionált pozitív m / n fok kifejezhető

0 m n = 0 m n = 0 teljes pozitív m és természetes n állapotában.

Negatív arányban m n 0, a fokot nem határozzuk meg, azaz egy ilyen rekordnak nincs értelme.

Jegyezzen meg egy pontot. Mivel bevezettük azt a feltételt, hogy az a nullánál nagyobb vagy egyenlő, néhány esetet elhagytunk.

Az a m n kifejezés néha még mindig értelme az a és néhány m negatív értékeinek. Tehát a bejegyzések (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 helyesek, ahol a bázis negatív.

2. A második megközelítés az a m n gyökér külön-külön, páratlan és páratlan indexekkel történő vizsgálata. Ekkor még egy feltételt kell bevezetnünk: az a fokot, amelynek indexében a csökkentett frakció értéke van, az a-nak kell tekinteni, amelynek indexe az ehhez tartozó, megfelelő redukálható frakció. Később elmagyarázzuk, miért ez a feltétel számunkra, és miért olyan fontos. Tehát, ha a m m k k · k rekordja van, akkor egy m n értékre csökkenthetjük és egyszerűsíthetjük a számításokat.

Ha n páratlan szám és m pozitív, akkor a nem-negatív szám, akkor egy m n értelme. Szükség van a nem-negatív állapotra, mivel egy egyenlő teljesítmény gyökere nem kerül ki negatív számból. Ha m értéke pozitív, akkor az a lehet negatív és nulla is a páratlan fokú gyökér bármely valós számból kivonható.

A fenti definíciók összes adatát egyetlen rekordban egyesítheti:

Itt az m / n egy nem redukálható frakciót jelent, m minden egész szám, és n bármely pozitív egész szám.

Az m · k n · k mért szokásos csökkentett frakciók esetében a fokozatot egy m n helyettesítheti.

Az a szám az m / n nem redukálható frakcionális indexgel a m n-ként kifejezhető a következő esetekben: - bármely valós és pozitív egész számértéke n és páratlan természeti érték esetén n. Példa: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- minden nzero valós a, egész szám negatív értékei n és páratlan értékei n, például 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- minden olyan negatív a, egész szám pozitív érték esetén, m és még n, például 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- bármely pozitív a, egész negatív m és n értéke esetén, például 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Más értékek esetében a frakcionális exponenssel mért fokozat nincs meghatározva. Példák ilyen fokokra: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Most megmagyarázzuk a fent említett állapot fontosságát: miért helyettesítsük a csökkentett indexű frakciót egy redukálhatatlan frakcióval. Ha ezt nem tennénk, akkor ilyen helyzetekre lenne szükség, mondjuk 6/10 = 3/5. Ezután igaznak kell lennie (- 1) 6 10 = - 1 3 5, de - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, és (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

A fokozat meghatározása frakcionált indexgel, amelyet először említettünk, kényelmesebb a gyakorlatba való bevezetésre, mint a második, ezért tovább fogjuk használni.

Így az m / n frakcionált indexű a pozitív szám mértéke 0 m n = 0 m n = 0. Negatív a esetén az a m n bejegyzés nem értelme. A pozitív frakcionális mutatószámok n / n értéke 0 m n = 0 m n = 0, a negatív frakcionális mutatók esetében nem definiáljuk a nullát.

A következtetésekben megjegyezzük, hogy mindegyik frakcionált indexet vegyes szám formájában és tizedesrész formájában írhatunk: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

A kiszámításnál jobb, ha az exponenset egy szokásos frakcióval helyettesítjük, majd az exponens meghatározását frakcionális exponenssel használjuk. A fenti példákhoz:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mi a mértéke irracionális és érvényes mutatóval

Mik azok a valós számok? A készletük racionális és irracionális számokat is tartalmaz. Ezért annak érdekében, hogy megértsük, milyen fokú egy érvényes mutató, meg kell határozni a fokozatokat racionális és irracionális mutatókkal. Racionális, már említettük. Az irracionális mutatókat lépésről lépésre fogjuk kezelni.

Tegyük fel, hogy van egy irracionális számunk, és a decimális közelítés sorozata a 0, a 1, a 2,.... Vegyük például a = 1, 67175331 értéket... majd

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a2 = 1, 671,... a = 0, 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

és így tovább (maguk a közelítések racionális számok).

A közelítések szekvenciái az a a 0, a a 1, a a 2, a fokozatok szekvenciáját társíthatják.... Ha emlékeztetünk arra, hogy korábban elmondtuk a számok racionális mértékű emelését, akkor ezeknek a fokoknak az értékeit is kiszámíthatjuk.

Vegyünk például a = 3, majd a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3, 671753,... és így tovább

A fokozatok sorozata egy számra csökkenthető, amely a c fokozat értéke az a bázis és az irracionális index a. Összefoglalva: a 3 1, 67175331-es forma irracionális mutatójával.. 6, 27-re csökkenthető.

A pozitív szám egy, az a irracionális exponenssel együtt a a. Értéke az a a 0, a a 1, a a 2,... ahol a 0, a 1, a 2,... az az irracionális szám egymást követő decimális közelítései. A pozitív irracionális indikátorokhoz egy nulla-bázisszint is meghatározható, 0 a = 0-val, így 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. A negatív esetekben ez nem lehetséges, mivel például a 0 - 5, 0 - 2 π érték nincs meghatározva. Egy irracionális fokra emelt egység például egység marad, és 1 2, 1 5–2 és 1-5 egyenlő lesz 1-vel.